CALCULO INTEGRAL
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Hola. muy buenas, el día de hoy les dejaré un video de como utilizar el cálculo integral para calcular en este caso, el volumen de una pieza de ajedrez
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Hola, muy buenas, el día de hoy veremos Área bajo una curva, y para ello tenemos que saber que son las integrales definidas, y el teorema fundamental del cálculo, el cual se muestra a continuación: Veamos algunos ejemplos: 1.- Primero tenemos que encontrar la anti derivada para la función, la cual es Ln(x) evaluada entre los límites de integración, y ahora evaluamos en la anti derivada nuestros límites, lo cuál nos da 1, veamos que significa esto geométricamente hablando: Colocamos nuestra función y=1/x, y los puntos en el eje X en 1 y e respectivamente, y podemos ver que 1 es el área comprendida entre la función, el eje X y nuestros límites de integración. Veamos otro ejemplo: Como podemos ver tenemos la función 4x+ x^2 y lo que hacemos es resolver la integral y la evaluamos en los límites de integración y tenemos un área negativa de -16/3, esto significa que nuestra área se encuentra por debajo del eje de las X, en la parte negativa de las Y
Hola, soy Dr S. de nuevo, hoy veremos un método nuevo de integración por fracciones parciales. Para este método tenemos que recordar las partes que componen una fracción: Digamos que tenemos la siguiente fracción: Como el grado de la ecuación del numerador es más grande que la del denominador, entonces realizamos una división de polinomios para reducir su grado y convertir eso en otra expresión más simple: Pero qué pasaría si el grado fuera menor??? Para empezar debemos factorizar el denominador a sus expresiones más simples irreducibles,y luego procedemos a aplicar el método. Es aquí cuando usamos el método de las fracciones parciales. Existen 4 casos:
Necesitaremos conocer las propiedades de los logaritmos para este ejercicio: Primero factorizamos el denominador a sus expresiones más simples, ya una vez que lo tenemos vemos que todos los factores son lineales, es decir su grado es 1 y no se repiten así que procedemos a hacer lo siguiente: 1.-Como son factores lineales no repetidos lo que hacemos es colocar una letra A y B arriba de cada fracción ya que el numerador tiene que tener un grado menor que el denominador. 2.-A continuación realizamos la suma de fracciones correspondiente y como estamos igualando, el denominador que es igual se puede eliminar, y solo nos quedamos con los numeradores de ambos lados. 3.-Ahora solo agrupamos los términos con x y el término independiente, e igualamos lo que tenga x y lo que no con su respectivo del otro lado de la ecuación y ahora por cualquier método de resolución de ecuaciones: Reducción, sustitución, Igualación, Gauss-Jordan etc... las resolvemos y nos quedan A=5 y B=2 como valores Solo sustituimos en la integral por cada uno de los valores y fracciones que nos dieron y ahora vemos que nos quedan dos integrales a resolver que ya sabemos como resolverlas, y con las propiedades de logaritmos reducimos esas expresiones a una más sencilla. Veamos un segundo caso: 1.-Vemos que el denominador y está factorizado en su máxima expresión y se repite un factor, así que demos de poner por cada grado que tenga el factor repetido una fracción igual pero con un grado menor en el denominador hasta llegar a 1, como vemos en el ejemplo, pusimos (x-4)^2 y otra fracción pero con (x-4) solamente 2.- Resolvemos la fracción del lado derecho, y eliminamos los denominadores 3.-Agrupamos todo lo que contenga x^2, x y el término independiente e igualamos con el lado izquierdo. 4.- Resolvemos el sistema de ecuaciones de 3x3 5.- Ahora anotamos de regreso nuestras fracciones obtenidas e integramos cada una de ellas como ya sabemos. 6.- Aplicamos propiedades de logaritmos para sintetizar la expresión y agregamos las constante de integración. Veamos otro caso: 1.- Vemos que no es factorizable directamente el denominador así que realizamos una división sintética para realizar dicha factorización. En la división sintética se anotan los divisores del término independiente, que los tenemos un lado, y vamos probando con cada uno dentro de la casa del divisor, y lo que hacemos es que anotamos los coeficientes de los términos de nuestra expresión ordenados, si falta un exponente entonces se asume que su coeficiente es 0, y bajamos el término más a la izquierda y lo que hacemos es multiplicar ese número que obtenemos por el divisor y lo anotamos en la siguiente columna a la derecha y sumamos verticalmente con el número que quede y el propósito es que en la columna del término independiente nos quede como residuo 0. En este caso el -2 nos da esa respuesta y los otros residuos que nos quedan serán los nuevos coeficientes y se corren los exponentes, como se muestra en las flechas. Y la fórmula sería (x-el divisor)*(Los demás residuos con su respectivo exponente que nos quedaron de la división) 2.- Anotamos las fracciones pero como un denominador es un cuadrático irreducible y dijimos que el numerador debe tener un grado menor que el denominador entonces anotamos un numerador ya no solo como una letra sino de la forma Bx + C y realizamos la suma de fracciones. 3.-Agrupamos los términos con x^2, x y los independientes. 4.- Igualamos ecuaciones con el lado derecho y resolvemos el sistema de ecuaciones de 3x3. 5.- Anotamos las fracciones y separamos en dos integrales 6.- Resolvemos ambas integrales como ya sabemos y agregamos la constante de integración Veamos un caso más: 1.- Para este último ejemplo, vemos que el denominador ya está factorizado y tenemos factor cuadrático repetido y sabemos que si se repiten, colocamos tantas fracciones como grado tenga el exponente del denominador y arriba de cada fracción une expresión de grado menor a la expresión elevada en el denominador.
2.- Resolvemos las fracciones e igualamos. 3.-Eliminamos los denominadores. 4.-Agrupamos los términos e igualamos con el lado izquierdo y obtenemos un sistema de ecuaciones de 5x5. 5.- Resolvemos el sistema de ecuaciones. 6.-Anotamos los coeficientes y separamos en muchas integrales. 7.- Integramos como ya sabemos y anotamos la constante de integración.
hola, muy buenas a continuación veremos un nuevo método de integración, el cuál se menciona en el título, y para ello nos basaremos en el triángulo pitagórico usando el teorema de pitágoras.
Sabemos que la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Una vez que sabemos esto, podemos comenzar:
Estas fórmulas estaremos usando para la sustitución trigonométrica
Para empezar debemos escoger un triángulo de los 3 que tenemos y vemos que tenemos en la raíz una constante menos la variable así que escogemos el triangulo de a-v.
1.-Construimos el triangulo basados en el teorema de pitágoras, 2.-Anotamos los datos que necesitamos para sustituir en la integral original. 3.-Para obtener x^2, solamente elevamos a ambos lados de la ecuación de x. 4.-Sustituimos todo en la integral original y lo dejamos todo en términos del ángulo y eliminamos lo que se puede eliminar. 5.- Sabemos que tan=sen/cos..... asi que.... ctg=cos/sen y tenemos ctg^2, así que el cos y el sen también los elevamos al cuadrado. 6.-Usamos la identidad trigonométrica de la ctg^2. 7.-Separamos en dos integrales que ya tienen fórmula 8.- Integramos confome a las fórmulas y anotamos la constante de integración 9.-Ahora solo debemos pasar todo en términos de x como estaba. Ahora veamos otro ejemplo:
1.-Determinamos que triángulo usaremos.
2.- Anotamos todos los datos a usar para la sustitución. 3.-Sustituimos en la integral original y eliminamos lo que se puede ir y sacamos el 4 de la integral. 4.-Vemos que solo nos queda integrar sen^2, y ya sabemos integrar potencias de funciones trigonométricas, así que sustituimos por su fórmula. 5.-Sacamos 1/2 de la integral y afuera nos quedaría 2. 6.-Ya todas nuestras integrales tienen fórmula y el cos(2z)dz lo integramos como cos(v)dv. 7.-Como nos quedó sen(2z) y originalmente teníamos en nuestro triángulo sen(z), tenemos que pasar ese sen(2z) a sen(z) mediante las siguientes fórmulas:
8.-Pasamos el angulo a términos de z sin ningún coeficiente.
9.-Sustituimos ahora sí, y dejamos todo en términos de x. Hola, el día de hoy veremos un nuevo método de integración llamado "INTEGRACIÓN POR PARTES", el cuál consiste en la siguiente fórmula Para ayudarnos a escoger quien es "u" y quien "dv", seguimos la regla ILATE, la que se muestra en la foto de arriba, y muestra la prioridad que tienen las funciones de ese tipo para escoger U, de izquierda a derecha. Veamos un ejercicio: 1.-Seguimos la regla ILATE para asignar U y dv. 2.-Encontramos v, integrando dv. 3.- Sustituimos en la fórmula y nos preocupamos por integrar lo que queda. 4.- Vemos que x^2 * 1/x se puede simplificar y lo hacemos. 5.- Integramos y agregamos la contante de integración Veamos otro ejemplo: 1.- Seguimos ILATE para asignar la raíz a dv y el logaritmo a dv 2.- Integramos dv como v^n. 3.-Sustituimos en la fórmula y vemos que podemos simplificar la nueva integral a resolver 4.- Resolvemos la nueva integral como v^n. 5.-Sustituimos y agregamos la constante de integración Veamos un último ejemplo 1.-Asignamos a cos(ln(x)) a U, y dx a dv.
2.-Resolvemos la nueva integral que nos queda dela misma manera y asignamos igual U y dv. 3.-Vemos que nos quedó por resolver de nuevo la misma integral que teníamos al inicio sólo que negativa, la podemos pasar del otro lado de la ecuación la integrala y tendríamos que dos veces esa integral sería lo que nos sobra. 4.-Pasamos el 2 multiplicando, a dividir y nos quedaría 1/2 por todo lo que teníamos del otro lado. 5.-Agregamos la constante de integración Hola, muy buenas, el día de hoy veremos una integral que es una de las más largas por la cantidad de pasos que hay que seguir para hacerla Cuando el exponente es positivo, par usamos una nueva fórmula, la cuál es la de la foto, y reescribimos la integral
1.- Reescribimos la integral conforme a la fórmula 2.- Una fracción elevada a un exponente es igual a elevar el numerador a esa potencia y el denominador igual 3.-Sacamos 1/4 de toda la integral 4.-Desarrollamos todo el binomio 5.-Separamos en muchas integrales 6.- Ponemos corchetes para agrupar términos y no confundirnos 7.- Las primeras dos integrales ya tienen fórmula, pero la última no, así que la resolvemos como al inicio le hicimos con la integral original 8.-Repetimos los pasos anteriores hasta que ya todas las integrales tengan unna fórmula 9.-Integramos cada integral como corresponde y completamos si les falta algo 10.-Arreglamos las fracciones para juntar los términos iguales 11.-Agregamos la constante de integración Hola, muy buenas, el día de hoy veremos integrales algo parecidas a las de sen y coseno, solo que con tangente y secante Podemos ver que si separamos el coseno de abajo, son 4 cosenos multplicándose entre si, de los cuáles podemos tomar 2 para que junto con los dos senos del numerador, formen tangente, y los que sobran serían secante 1.- Reescribimos la initegral para que sea más fácil integrar, y ahora vemos que la podemos integrar como v^n dv 2.- Checamos que esté completa la integral 3.- Sustituimos conforme a la fórmula y escribimos la constante de integración Ahora veamos una integral un poco más difícil si tenemos tangente elevada a un exponente positivo, podemos escribir la integral de la s¿manera como dice la fórmula
1.- Reescribimos la integral como dice la fórmula, y separamos en dos integrales 2.-La segunda integral la podemos integrar como tan v dv, y la primera como la famosísima v^n dv 3.- Vemos que ambas integrales están completas y sustituimos con sus fórmulas respectivas 4.-Agregamos la constante de integración Hola, muy buenas, el día de hoy veremos una integral con sen y cos Basándonos en la identidad pitagórica, sustituiremos igual, pero para integrar de esta manera, al menos uno de los exponentes debe ser impar positivo, y dependiendo cuál sea cambia ligeramente la fórmula
1.- Reordenamos la integral como dice la fórmula ya que el exponente del sen es impar 2.-Podemos separar en muchas integrales, y ambas las podemos integrar como v^n dv. 3.-Completamos ambas integrales con lo que nos falta e integramos como ya sabemos 4.-Agregamos la constante de integración Hola, el día de hoy veremos algunos ejercicios de integraciones de potencias de funciones trigonométricas, veamos el siguiente ejemploDebemos basarnos en la identidad trigonométrica pitagórica: Siempre que tengamos sen x elevado a una potencia impar, lo que haremos será sustituir basándonos en la identidad anterior
1.- Sustituimos de acuerdo a la fórmula 2.- Podemos separar en dos integrales diferentes 3.-La primera integral la podemos integrar como sen v dv, y la segunda como v^n dv, como aparecen las fórmulas en la foto 4.- Completamos la segunda integral con lo que le falta 5.- Integramos y agregamos la constante de integración Hola chicos, el día de hoy veremos un tema nuevo, el cuál se trata de potencias de funciones trigonométricas, A continuación haremos un ejercicio: Explicación: 1.- Utilizamos la fórmula ya que el coseno está elevado a una potencia impar, y sustituimos 2.- Multiplicamos y podemos separar en dos integrales distintas 3.- La primera integral es directa y su respuesta es Sen x 4.- Para la segunda, la resolvemos como v^n, tomando v como sen x 5.- Sustituimos y agregamos la contante de integración A continuación un ejercicio con sen^n: Explicación: 1.- Utilizamos la fórmula ya que n es una potencia impar y sustituimos 2.- Desarrollamos el binomio al cuadrado y multiplicamos para separar en 3 integrales diferentes. 3.-Para la primera sale directo, la cuál es sen x, y para las otras dos las resolvemos como v^n, pero sacando un signo negativo antes de cada una de estas integrales 4.- Agregamos la constante de integración Un ejercicio con tangente Explicación
1.- Utilizamos siempre esta fórmula ya que no requiere más que n sea un número positivo entero. 2.- Separamos y sustituimos en la fórmula 3.- Multiplicamos y separamos en dos integrales distintas 4.- La primera la integramos como v^n, tomándo v= tan x 5.- Para la segunda volvemos a repetir la fórmula inicial 6.- Separamos en otras dos integrales que cada una ya tiene fórmula directa y anotamos la contante de integración |
Autor: Dr SphereTime for lifting this up. CONTACTO:
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